Взаимоисключающие и независимые события
Люди часто путают понятие взаимоисключающих событий с независимыми событиями. На самом деле это разные вещи.
Пусть A и B - любые два события, связанные со случайным экспериментом E. P (A) называется «Вероятностью A». Точно так же мы можем определить вероятность B как P (B), вероятность A или B как P (A∪B) и вероятность A и B как P (A∩B). Тогда P (A∪B) = P (A) + P (B) -P (A∩B).
Однако два события считаются взаимоисключающими, если возникновение одного события не влияет на другое. Другими словами, они не могут происходить одновременно. Следовательно, если два события A и B являются взаимоисключающими, то A∩B = ∅ и, следовательно, это влечет P (A∪B) = P (A) + P (B).
Пусть A и B - два события в пространстве выборки S. Условная вероятность A, при условии, что B произошло, обозначается P (A | B) и определяется как; P (A | B) = P (A∩B) / P (B), если P (B)> 0. (в противном случае не определяется.)
Говорят, что событие A не зависит от события B, если вероятность того, что оно произойдет, не зависит от того, произошло B или нет. Другими словами, исход события B не влияет на исход события A. Следовательно, P (A | B) = P (A). Аналогично, B не зависит от A, если P (B) = P (B | A). Следовательно, мы можем заключить, что если A и B - независимые события, то P (A∩B) = P (A). P (B)
Предположим, что выпал нумерованный куб и подброшена честная монета. Пусть A будет событием, когда выпадет голова, а B будет событием, когда выпадет четное число. Тогда мы можем заключить, что события A и B независимы, потому что результат одного не влияет на результат другого. Следовательно, P (A∩B) = P (A). P (B) = (1/2) (1/2) = 1/4. Поскольку P (A∩B) ≠ 0, A и B не могут быть взаимоисключающими.
Предположим, что урна содержит 7 белых и 8 черных шариков. Определите событие A как рисование белого шарика и событие B как рисование черного шарика. Если предположить, что каждый шарик будет заменен после того, как будет отмечен его цвет, тогда P (A) и P (B) всегда будут одинаковыми, независимо от того, сколько раз мы извлекаем из урны. Замена шариков означает, что вероятности не меняются от розыгрыша к розыгрышу, независимо от того, какой цвет мы выбрали на последнем розыгрыше. Следовательно, события A и B независимы.
Но если шарики рисовали без замены, то все меняется. Согласно этому предположению, события A и B не являются независимыми. Рисование белого шарика в первый раз изменяет вероятность рисования черного шарика при втором розыгрыше и так далее. Другими словами, каждый розыгрыш влияет на следующий розыгрыш, поэтому отдельные розыгрыши не являются независимыми.
Разница между взаимоисключающими и независимыми событиями
- Взаимная исключительность событий означает, что между наборами A и B нет перекрытия. Независимость событий означает, что событие A не влияет на событие B.
- Если два события A и B исключают друг друга, то P (A∩B) = 0.
- Если два события A и B независимы, то P (A∩B) = P (A). P (B)
