Разница между зависимыми и независимыми событиями

2024 Автор: Mildred Bawerman | [email protected]. Последнее изменение: 2023-12-16 08:42

Зависимые и независимые события

В нашей повседневной жизни мы сталкиваемся с событиями с неопределенностью. Например, шанс выиграть в лотерею, которую вы покупаете, или шанс получить работу, на которую вы подали заявку. Фундаментальная теория вероятности используется для математического определения вероятности чего-либо. Вероятность всегда связана со случайными экспериментами. Эксперимент с несколькими возможными исходами называется случайным, если исход какого-либо отдельного испытания нельзя предсказать заранее. Зависимые и независимые события - это термины, используемые в теории вероятностей.

Говорят, что событие B не зависит от события A, если вероятность того, что B произойдет, не зависит от того, произошло A или нет. Проще говоря, два события независимы, если исход одного не влияет на вероятность наступления другого события. Другими словами, B не зависит от A, если P (B) = P (B | A). Аналогично, A не зависит от B, если P (A) = P (A | B). Здесь P (A | B) обозначает условную вероятность A, если предположить, что B. Если мы рассмотрим бросание двух кубиков, число, выпавшее на одном кубике, не повлияет на то, что выпало на другом кубике.

Для любых двух событий A и B в пространстве отсчетов S; условная вероятность A, учитывая, что B произошло, равна P (A | B) = P (A∩B) / P (B). Таким образом, если событие A не зависит от события B, то из P (A) = P (A | B) следует, что P (A∩B) = P (A) x P (B). Аналогично, если P (B) = P (B | A), то P (A∩B) = P (A) x P (B). Следовательно, мы можем заключить, что два события A и B независимы, если и только если выполняется условие P (A∩B) = P (A) x P (B).

Предположим, что мы бросаем кубик и подбрасываем монету одновременно. Тогда набор всех возможных исходов или выборочное пространство S = {(1, H), (2, H), (3, H), (4, H), (5, H), (6, H), (1, T), (2, T), (3, T), (4, T), (5, T), (6, T)}. Пусть событие A будет событием выпадения орла, тогда вероятность события A, P (A) равна 6/12 или 1/2, и пусть B будет событием, когда на кубике выпадет число, кратное трем. Тогда P (B) = 4/12 = 1/3. Любое из этих двух событий не влияет на возникновение другого события. Следовательно, эти два события независимы. Поскольку набор (A∩B) = {(3, H), (6, H)}, вероятность того, что событие получит решку и кратную трем на кубике, то есть P (A∩B) равна 2/12 или 1/6. Умножение P (A) x P (B) также равно 1/6. Поскольку два события A и B удовлетворяют условию, мы можем сказать, что A и B являются независимыми событиями.

Если на исход одного события влияет результат другого события, то событие считается зависимым.

Предположим, что у нас есть мешок, содержащий 3 красных шара, 2 белых шара и 2 зеленых шара. Вероятность выпадения белого шара случайным образом составляет 2/7. Какова вероятность выпадения зеленого шара? Это 2/7?

Если мы вытащили второй шар после замены первого шара, эта вероятность будет 2/7. Однако, если мы не заменим первый шар, который мы вытащили, то у нас будет только шесть шаров в мешке, поэтому вероятность вытащить зеленый шар теперь составляет 2/6 или 1/3. Следовательно, второе событие является зависимым, поскольку первое событие влияет на второе событие.

В чем разница между зависимым событием и независимым событием?