Случайные переменные и распределение вероятностей
Статистические эксперименты - это случайные эксперименты, которые можно повторять бесконечно с известным набором результатов. С такими экспериментами связаны как случайные величины, так и распределения вероятностей. Для каждой случайной переменной существует соответствующее распределение вероятностей, определяемое функцией, называемой кумулятивной функцией распределения.
Что такое случайная величина?
Случайная величина - это функция, которая присваивает числовые значения результатам статистического эксперимента. Другими словами, это функция, определенная из выборочного пространства статистического эксперимента в набор действительных чисел.
Например, рассмотрим случайный эксперимент по подбрасыванию монеты дважды. Возможные исходы: HH, HT, TH и TT (H - орел, T - сказки). Пусть переменная X будет количеством голов, наблюдаемых в эксперименте. Тогда X может принимать значения 0, 1 или 2, и это случайная величина. Здесь случайная величина X будет отображать набор S = {HH, HT, TH, TT} (пространство выборки) на набор {0, 1, 2} таким образом, что HH отображается в 2, HT и TH отображаются в 1, а TT - в 0. В обозначении функций это можно записать как, X: S → R, где X (HH) = 2, X (HT) = 1, X (TH) = 1 и X (ТТ) = 0.
Есть два типа случайных величин: дискретные и непрерывные, соответственно количество возможных значений, которые случайная величина может принять, является не более чем счетным или нет. В предыдущем примере случайная величина X является дискретной случайной величиной, поскольку {0, 1, 2} - конечное множество. Теперь рассмотрим статистический эксперимент по определению веса учащихся в классе. Пусть Y - случайная величина, определяемая как вес студента. Y может принимать любое реальное значение в пределах определенного интервала. Следовательно, Y - непрерывная случайная величина.
Что такое вероятностное распределение?
Распределение вероятностей - это функция, которая описывает вероятность того, что случайная величина принимает определенные значения.
Функция, называемая кумулятивной функцией распределения (F), может быть определена из набора действительных чисел в набор действительных чисел как F (x) = P (X ≤ x) (вероятность того, что X будет меньше или равна x) для каждый возможный исход x. Теперь кумулятивная функция распределения X в первом примере может быть записана как F (a) = 0, если a <0; F (a) = 0,25, если 0≤a <1; F (a) = 0,75, если 1≤a <2 и F (a) = 1, если a≥2.
В случае дискретных случайных величин функция может быть определена из множества возможных исходов в множество действительных чисел таким образом, что ƒ (x) = P (X = x) (вероятность того, что X будет равна x) для каждого возможного исхода x. Эта конкретная функция ƒ называется функцией массы вероятности случайной величины X. Теперь функция массы вероятности X в первом частном примере может быть записана как (0) = 0,25, ƒ (1) = 0,5, ƒ (2) = 0,25, и ƒ (x) = 0 в противном случае. Таким образом, функция массы вероятностей вместе с кумулятивной функцией распределения будет описывать распределение вероятностей X в первом примере.
В случае непрерывных случайных величин функция, называемая функцией плотности вероятности (ƒ), может быть определена как ƒ (x) = dF (x) / dx для каждого x, где F - кумулятивная функция распределения непрерывной случайной величины. Легко видеть, что эта функция удовлетворяет (x) dx = 1. Функция плотности вероятности вместе с кумулятивной функцией распределения описывает распределение вероятностей непрерывной случайной величины. Например, нормальное распределение (которое является непрерывным распределением вероятностей) описывается с помощью функции плотности вероятности ƒ (x) = 1 / √ (2πσ 2) e ^ ([(x-µ)] 2 / (2σ 2)).
В чем разница между случайными переменными и распределением вероятностей?
• Случайная переменная - это функция, которая связывает значения пространства отсчетов с действительным числом.
• Распределение вероятностей - это функция, которая связывает значения, которые случайная величина может принимать, с соответствующей вероятностью появления.
