Биномиальное и нормальное распределение
Распределения вероятностей случайных величин играют важную роль в области статистики. Из этих распределений вероятностей биномиальное распределение и нормальное распределение являются двумя наиболее часто встречающимися в реальной жизни.
Что такое биномиальное распределение?
Биномиальное распределение - это распределение вероятностей, соответствующее случайной величине X, которая представляет собой количество успешных результатов конечной последовательности независимых экспериментов типа да / нет, каждый из которых имеет вероятность успеха p. Из определения X очевидно, что это дискретная случайная величина; следовательно, биномиальное распределение тоже дискретно.
Распределение обозначается как X ~ B (n, p), где n - количество экспериментов, а p - вероятность успеха. Согласно теории вероятностей, мы можем сделать вывод, что B (n, p) следует функции массы вероятности
. Из этого уравнения можно далее вывести, что ожидаемое значение X, E (X) = np, а дисперсия X, V (X) = np (1-p).
Например, рассмотрим случайный эксперимент по подбрасыванию монеты 3 раза. Определите успех как получение H, неудачу как получение T и случайную величину X как количество успехов в эксперименте. Тогда X ~ B (3, 0.5) и функция массы вероятности X определяется выражением
. Следовательно, вероятность получить не менее 2 H равна P (X ≥ 2) = P (X = 2 или X = 3) = P (X = 2) + P (X = 3) = 3 C 2 (0,5 2). (0,5 1) + 3 C 3 (0,5 3) (0,5 0) = 0,375 + 0,125 = 0,5.
Что такое нормальное распределение?
Нормальное распределение является непрерывное распределение вероятности определяется функцией плотности вероятности,
. Параметры
обозначают среднее значение и стандартное отклонение исследуемой совокупности. Когда
распределение называется стандартным нормальным распределением.
Это распределение называется нормальным, поскольку большинство природных явлений подчиняются нормальному распределению. Например, IQ человеческой популяции распределен нормально. Как видно из графика, он унимодальный, симметричный относительно среднего и колоколообразный. Среднее значение, мода и медиана совпадают. Площадь под кривой соответствует части населения, удовлетворяющей заданному условию.
Части населения в интервале
,
,
примерно 68,2%, 95,6% и 99,8% соответственно.
В чем разница между биномиальным и нормальным распределениями?
- Биномиальное распределение - это дискретное распределение вероятностей, тогда как нормальное распределение - непрерывное.
-
Функция массы вероятности биномиального распределения равна
тогда как функция плотности вероятности нормального распределения равна
- Биномиальное распределение аппроксимируется нормальным распределением при определенных условиях, но не наоборот.
