Гипербола против эллипса
Когда конус разрезается под разными углами, края конуса отмечаются разными кривыми. Эти кривые часто называют коническими сечениями. Точнее, коническое сечение - это кривая, полученная путем пересечения правой круговой конической поверхности с плоской поверхностью. При разных углах пересечения даны разные конические сечения.
И гипербола, и эллипс являются коническими сечениями, и в этом контексте их различия легко сравнивать.
Подробнее об Ellipse
Когда пересечение конической поверхности и плоской поверхности образует замкнутую кривую, это называется эллипсом. Он имеет эксцентриситет от нуля до единицы (0
Отрезок линии, проходящий через фокусы, известен как большая ось, а ось, перпендикулярная большой оси и проходящая через центр эллипса, известна как малая ось. Диаметры вдоль каждой оси известны как поперечный диаметр и сопряженный диаметр соответственно. Половина большой оси известна как большая полуось, а половина малой оси известна как малая полуось.
Каждая точка F 1 и F 2 известны как фокусы эллипса и имеют длину F 1 + PF 2 = 2a, где P - произвольная точка на эллипсе. Эксцентриситет е определяется как отношение между расстоянием от фокуса до произвольной точки (PF 2) и перпендикулярным расстоянием до произвольной точки от направляющей (PD). Оно также равно расстоянию между двумя фокусами и большой полуосью: e = PF / PD = f / a.
Общее уравнение эллипса, когда большая полуось и малая полуось совпадают с декартовыми осями, задается следующим образом.
х 2 / а 2 + у 2 / б 2 = 1
Геометрия эллипса имеет множество приложений, особенно в физике. Орбиты планет Солнечной системы имеют эллиптическую форму, а Солнце находится в одном фокусе. Отражатели для антенн и акустических устройств имеют эллиптическую форму, чтобы воспользоваться преимуществом того факта, что любое излучение в фокусе будет сходиться в другом фокусе.
Подробнее о Гиперболе
Гипербола - тоже коническое сечение, но с открытым концом. Термин гипербола относится к двум несвязанным кривым, показанным на рисунке. Вместо того, чтобы смыкаться, как эллипс, рукава или ветви гиперболы продолжаются до бесконечности.
Точки, в которых две ветви имеют наименьшее расстояние между ними, называются вершинами. Линия, проходящая через вершины, считается большой осью или поперечной осью, и это одна из главных осей гиперболы. Два фокуса параболы также лежат на большой оси. Средняя точка линии между двумя вершинами - это центр, а длина отрезка - большая полуось. Серединный перпендикуляр к большой полуоси является другой главной осью, и две кривые гиперболы симметричны относительно этой оси. Эксцентриситет параболы больше единицы; е> 1.
Если главные оси совпадают с декартовыми осями, общее уравнение гиперболы имеет вид:
х 2 / а 2 - у 2 / б 2 = 1, где a - большая полуось, а b - расстояние от центра до любого фокуса.
Гиперболы с открытыми концами, обращенными к оси x, известны как гиперболы восток-запад. Аналогичные гиперболы можно получить и по оси y. Они известны как гиперболы оси y. Уравнение для таких гипербол принимает вид
у 2 / а 2 - х 2 / б 2 = 1
В чем разница между Гиперболой и Эллипсом?
• И эллипсы, и гипербола являются коническими сечениями, но эллипс представляет собой замкнутую кривую, а гипербола состоит из двух открытых кривых.
• Следовательно, эллипс имеет конечный периметр, а гипербола - бесконечную длину.
• Оба симметричны относительно своей большой и малой оси, но положение директрисы в каждом случае разное. В эллипсе он лежит за пределами большой полуоси, а в гиперболе - на большой полуоси.
• Эксцентриситеты двух конических секций различаются.
0
e Гипербола > 0
• Общее уравнение двух кривых выглядит одинаково, но они разные.
• Серединный перпендикуляр большой оси пересекает кривую в эллипсе, но не в гиперболе.
(Источник изображений: Википедия)
