Разница между гиперболой и эллипсом

2024 Автор: Mildred Bawerman | [email protected]. Последнее изменение: 2023-12-16 08:42

Гипербола против эллипса

Когда конус разрезается под разными углами, края конуса отмечаются разными кривыми. Эти кривые часто называют коническими сечениями. Точнее, коническое сечение - это кривая, полученная путем пересечения правой круговой конической поверхности с плоской поверхностью. При разных углах пересечения даны разные конические сечения.

И гипербола, и эллипс являются коническими сечениями, и в этом контексте их различия легко сравнивать.

Подробнее об Ellipse

Когда пересечение конической поверхности и плоской поверхности образует замкнутую кривую, это называется эллипсом. Он имеет эксцентриситет от нуля до единицы (0

Отрезок линии, проходящий через фокусы, известен как большая ось, а ось, перпендикулярная большой оси и проходящая через центр эллипса, известна как малая ось. Диаметры вдоль каждой оси известны как поперечный диаметр и сопряженный диаметр соответственно. Половина большой оси известна как большая полуось, а половина малой оси известна как малая полуось.

Каждая точка F ₁ и F ₂ известны как фокусы эллипса и имеют длину F ₁ + PF ₂ = 2a, где P - произвольная точка на эллипсе. Эксцентриситет е определяется как отношение между расстоянием от фокуса до произвольной точки (PF ₂) и перпендикулярным расстоянием до произвольной точки от направляющей (PD). Оно также равно расстоянию между двумя фокусами и большой полуосью: e = PF / PD = f / a.

Общее уравнение эллипса, когда большая полуось и малая полуось совпадают с декартовыми осями, задается следующим образом.

х ² / а ² + у ² / б ² = 1

Геометрия эллипса имеет множество приложений, особенно в физике. Орбиты планет Солнечной системы имеют эллиптическую форму, а Солнце находится в одном фокусе. Отражатели для антенн и акустических устройств имеют эллиптическую форму, чтобы воспользоваться преимуществом того факта, что любое излучение в фокусе будет сходиться в другом фокусе.

Подробнее о Гиперболе

Гипербола - тоже коническое сечение, но с открытым концом. Термин гипербола относится к двум несвязанным кривым, показанным на рисунке. Вместо того, чтобы смыкаться, как эллипс, рукава или ветви гиперболы продолжаются до бесконечности.

Точки, в которых две ветви имеют наименьшее расстояние между ними, называются вершинами. Линия, проходящая через вершины, считается большой осью или поперечной осью, и это одна из главных осей гиперболы. Два фокуса параболы также лежат на большой оси. Средняя точка линии между двумя вершинами - это центр, а длина отрезка - большая полуось. Серединный перпендикуляр к большой полуоси является другой главной осью, и две кривые гиперболы симметричны относительно этой оси. Эксцентриситет параболы больше единицы; е> 1.

Если главные оси совпадают с декартовыми осями, общее уравнение гиперболы имеет вид:

х ² / а ² - у ² / б ² = 1, где a - большая полуось, а b - расстояние от центра до любого фокуса.

Гиперболы с открытыми концами, обращенными к оси x, известны как гиперболы восток-запад. Аналогичные гиперболы можно получить и по оси y. Они известны как гиперболы оси y. Уравнение для таких гипербол принимает вид

у ² / а ² - х ² / б ² = 1

В чем разница между Гиперболой и Эллипсом?

• И эллипсы, и гипербола являются коническими сечениями, но эллипс представляет собой замкнутую кривую, а гипербола состоит из двух открытых кривых.

• Следовательно, эллипс имеет конечный периметр, а гипербола - бесконечную длину.

• Оба симметричны относительно своей большой и малой оси, но положение директрисы в каждом случае разное. В эллипсе он лежит за пределами большой полуоси, а в гиперболе - на большой полуоси.

• Эксцентриситеты двух конических секций различаются.

0 Эллипс <1

e _{Гипербола} > 0

• Общее уравнение двух кривых выглядит одинаково, но они разные.

• Серединный перпендикуляр большой оси пересекает кривую в эллипсе, но не в гиперболе.

(Источник изображений: Википедия)