Параллелограмм против ромба
Параллелограмм и ромб - это четырехугольники. Геометрия этих фигур была известна человеку тысячи лет. Этот предмет подробно рассматривается в книге «Элементы», написанной греческим математиком Евклидом.
Параллелограмм
Параллелограмм можно определить как геометрическую фигуру с четырьмя сторонами, причем противоположные стороны параллельны друг другу. Точнее, это четырехугольник с двумя парами параллельных сторон. Эта параллельность придает параллелограммам множество геометрических характеристик.
Четырехугольник является параллелограммом, если найдены следующие геометрические характеристики.
• Две пары противоположных сторон равны по длине. (AB = DC, AD = BC)
• Две пары противоположных углов равны по размеру. (
)
• Если соседние углы являются дополнительными
• Пара противостоящих друг другу сторон параллельна и равна длине. (AB = DC и AB∥DC)
• Диагонали делят друг друга пополам (AO = OC, BO = OD)
• Каждая диагональ делит четырехугольник на два конгруэнтных треугольника. (∆ADB ≡ ∆BCD, ∆ABC ≡ ∆ADC)
Далее сумма квадратов сторон равна сумме квадратов диагоналей. Иногда это называют законом параллелограмма, и он широко применяется в физике и технике. (AB 2 + BC 2 + CD 2 + DA 2 = AC 2 + BD 2)
Каждую из вышеперечисленных характеристик можно использовать в качестве свойств после того, как будет установлено, что четырехугольник является параллелограммом.
Площадь параллелограмма можно рассчитать как произведение длины одной стороны и высоты противоположной стороны. Следовательно, площадь параллелограмма можно записать как
Площадь параллелограмма = основание × высота = AB × h
Площадь параллелограмма не зависит от формы отдельного параллелограмма. Это зависит только от длины основания и высоты перпендикуляра.
Если стороны параллелограмма могут быть представлены двумя векторами, площадь может быть получена по величине векторного произведения (перекрестного произведения) двух смежных векторов.
Если стороны AB и AD представлены векторами (
) и (
) соответственно, площадь параллелограмма определяется как
где α - угол между
и
Ниже приведены некоторые дополнительные свойства параллелограмма.
• Площадь параллелограмма в два раза больше площади треугольника, образованного любой из его диагоналей.
• Площадь параллелограмма делится пополам любой линией, проходящей через середину.
• Любое невырожденное аффинное преобразование переводит параллелограмм в другой параллелограмм.
• Параллелограмм имеет вращательную симметрию 2-го порядка.
• Сумма расстояний от любой внутренней точки параллелограмма до сторон не зависит от местоположения точки.
Ромб
Четырехугольник, у которого все стороны равны по длине, называется ромбом. Его также называют равносторонним четырехугольником. Считается, что он имеет форму ромба, похожую на ту, что в игральных картах.
Ромб также является частным случаем параллелограмма. Его можно рассматривать как параллелограмм, у которого все четыре стороны равны. Помимо свойств параллелограмма, он имеет следующие особые свойства.
• Диагонали ромба пересекают друг друга под прямым углом; диагонали перпендикулярны.
• Диагонали делят пополам два противоположных внутренних угла.
• По крайней мере, две из смежных сторон равны по длине.
Площадь ромба можно вычислить тем же способом, что и параллелограмм.
В чем разница между параллелограммом и ромбом?
• Параллелограмм и ромб - четырехугольники. Ромб - это частный случай параллелограммов.
• Площадь любого объекта можно рассчитать по формуле основание × высота.
• Учитывая диагонали;
- Диагонали параллелограмма делят пополам друг друга и параллелограмм пополам, образуя два конгруэнтных треугольника.
- Диагонали ромба делят друг друга пополам под прямым углом, а образованные треугольники равносторонние.
• С учетом внутренних углов;
- Противоположные внутренние углы параллелограмма равны по размеру. Два смежных внутренних угла являются дополнительными.
- Внутренние углы ромба делятся пополам диагоналями.
• Рассмотрение сторон;
- В параллелограмме сумма квадратов сторон равна сумме квадратов диагонали (закон параллелограмма).
- Поскольку у ромба все четыре стороны равны, четырехкратный квадрат стороны равен сумме квадратов диагонали.
