Параллелограмм против прямоугольника
Параллелограмм и прямоугольник - это четырехугольники. Геометрия этих фигур была известна человеку тысячи лет. Этот предмет подробно рассматривается в книге «Элементы», написанной греческим математиком Евклидом.
Параллелограмм
Параллелограмм можно определить как геометрическую фигуру с четырьмя сторонами, причем противоположные стороны параллельны друг другу. Точнее, это четырехугольник с двумя парами параллельных сторон. Эта параллельность придает параллелограммам множество геометрических характеристик.
Четырехугольник является параллелограммом, если найдены следующие геометрические характеристики.
• Две пары противоположных сторон равны по длине. (AB = DC, AD = BC)
• Две пары противоположных углов равны по размеру. (
)
• Если соседние углы являются дополнительными
• Пара противостоящих друг другу сторон параллельна и равна длине. (AB = DC и AB∥DC)
• Диагонали делят друг друга пополам (AO = OC, BO = OD)
• Каждая диагональ делит четырехугольник на два конгруэнтных треугольника. (∆ADB ≡ ∆BCD, ∆ABC ≡ ∆ADC)
Далее сумма квадратов сторон равна сумме квадратов диагоналей. Иногда это называют законом параллелограмма, и он широко применяется в физике и технике. (AB 2 + BC 2 + CD 2 + DA 2 = AC 2 + BD 2)
Каждую из вышеперечисленных характеристик можно использовать в качестве свойств после того, как будет установлено, что четырехугольник является параллелограммом.
Площадь параллелограмма можно рассчитать как произведение длины одной стороны и высоты противоположной стороны. Следовательно, площадь параллелограмма можно записать как
Площадь параллелограмма = основание × высота = AB × h
Площадь параллелограмма не зависит от формы отдельного параллелограмма. Это зависит только от длины основания и высоты перпендикуляра.
Если стороны параллелограмма могут быть представлены двумя векторами, площадь может быть получена по величине векторного произведения (перекрестного произведения) двух смежных векторов.
Если стороны AB и AD представлены векторами (
) и (
) соответственно, площадь параллелограмма определяется как
где α - угол между
и
Ниже приведены некоторые дополнительные свойства параллелограмма.
• Площадь параллелограмма в два раза больше площади треугольника, образованного любой из его диагоналей.
• Площадь параллелограмма делится пополам любой линией, проходящей через середину.
• Любое невырожденное аффинное преобразование переводит параллелограмм в другой параллелограмм.
• Параллелограмм имеет вращательную симметрию 2-го порядка.
• Сумма расстояний от любой внутренней точки параллелограмма до сторон не зависит от местоположения точки.
Прямоугольник
Четырехугольник с четырьмя прямыми углами известен как прямоугольник. Это частный случай параллелограмма, где углы между любыми двумя соседними сторонами равны прямым углам.
Помимо всех свойств параллелограмма, при рассмотрении геометрии прямоугольника можно распознать дополнительные характеристики.
• Каждый угол при вершинах - прямой угол.
• Диагонали равны по длине и делят друг друга пополам. Следовательно, разрезанные пополам участки тоже равны по длине.
• Длину диагоналей можно вычислить с помощью теоремы Пифагора:
PQ 2 + PS 2 = SQ 2
• Формула площади сводится к произведению длины и ширины.
Площадь прямоугольника = длина × ширина
• Прямоугольник обладает многими симметричными свойствами, например;
- Прямоугольник является циклическим, все вершины которого могут располагаться по периметру круга.
- Он равноугловой, где все углы равны.
- Он изогонален, когда все углы лежат в пределах одной орбиты симметрии.
- Он имеет как отражательную, так и вращательную симметрию.
В чем разница между параллелограммом и прямоугольником?
• Параллелограмм и прямоугольник - это четырехугольники. Прямоугольник - это частный случай параллелограммов.
• Площадь любого объекта можно рассчитать по формуле основание × высота.
• Учитывая диагонали;
- Диагонали параллелограмма делят пополам друг друга и параллелограмм пополам, образуя два конгруэнтных треугольника.
- диагонали прямоугольника равны по длине и делят друг друга пополам; Разделенные пополам участки равны по длине. Диагонали делят прямоугольник пополам на два равных прямоугольных треугольника.
• С учетом внутренних углов;
- Противоположные внутренние углы параллелограмма равны по размеру. Два смежных внутренних угла являются дополнительными
- Все четыре внутренних угла прямоугольника прямые.
• Рассмотрение сторон;
- В параллелограмме сумма квадратов сторон равна сумме квадратов диагонали (закон параллелограмма)
- В прямоугольниках сумма квадратов двух смежных сторон равна квадрату диагонали на концах. (Правило Пифагора)
