Параллелограмм против четырехугольника
Четырехугольники и параллелограммы - это многоугольники, встречающиеся в евклидовой геометрии. Параллелограмм - это частный случай четырехугольника. Четырехугольники могут быть плоскими (2D) или трехмерными, в то время как параллелограммы всегда плоские.
Четырехугольник
Четырехугольник - это многоугольник с четырьмя сторонами. Он имеет четыре вершины, а сумма внутренних углов составляет 3600 (2π рад). Четырехугольники подразделяются на самопересекающиеся и простые четырехугольники. У самопересекающихся четырехугольников две или более стороны пересекаются друг с другом, а геометрические фигуры меньшего размера (например, треугольники образуются внутри четырехугольника).
Простые четырехугольники также делятся на выпуклые и вогнутые четырехугольники. Вогнутые четырехугольники имеют смежные стороны, образующие углы отражения внутри фигуры. Простые четырехугольники, не имеющие внутренних углов, называются выпуклыми четырехугольниками. Выпуклые четырехугольники всегда могут иметь мозаику.
Большая часть геометрии четырехугольников на начальных уровнях касается выпуклых четырехугольников. Некоторые четырехугольники нам хорошо знакомы еще со времен начальной школы. Ниже представлена диаграмма, показывающая различные выпуклые четырехугольники.
Параллелограмм
Параллелограмм можно определить как геометрическую фигуру с четырьмя сторонами, причем противоположные стороны параллельны друг другу. Точнее, это четырехугольник с двумя парами параллельных сторон. Эта параллельность придает параллелограммам множество геометрических характеристик.
Четырехугольник является параллелограммом, если найдены следующие геометрические характеристики.
• Две пары противоположных сторон равны по длине. (AB = DC, AD = BC)
• Две пары противоположных углов равны по размеру. (
)
• Если соседние углы являются дополнительными
• Пара противостоящих друг другу сторон параллельна и равна длине. (AB = DC и AB∥DC)
• Диагонали делят друг друга пополам (AO = OC, BO = OD)
• Каждая диагональ делит четырехугольник на два конгруэнтных треугольника. (∆ADB ≡ ∆BCD, ∆ABC ≡ ∆ADC)
Далее сумма квадратов сторон равна сумме квадратов диагоналей. Иногда это называют законом параллелограмма, и он широко применяется в физике и технике. (AB 2 + BC 2 + CD 2 + DA 2 = AC 2 + BD 2)
Каждую из вышеперечисленных характеристик можно использовать в качестве свойств после того, как будет установлено, что четырехугольник является параллелограммом.
Площадь параллелограмма можно рассчитать как произведение длины одной стороны и высоты противоположной стороны. Следовательно, площадь параллелограмма можно записать как
Площадь параллелограмма = основание × высота = AB × h
Площадь параллелограмма не зависит от формы отдельного параллелограмма. Это зависит только от длины основания и высоты перпендикуляра.
Если стороны параллелограмма могут быть представлены двумя векторами, площадь может быть получена по величине векторного произведения (перекрестного произведения) двух смежных векторов.
Если стороны AB и AD представлены векторами (
) и (
) соответственно, площадь параллелограмма определяется как
где α - угол между
и
Ниже приведены некоторые дополнительные свойства параллелограмма.
• Площадь параллелограмма в два раза больше площади треугольника, образованного любой из его диагоналей.
• Площадь параллелограмма делится пополам любой линией, проходящей через середину.
• Любое невырожденное аффинное преобразование переводит параллелограмм в другой параллелограмм.
• Параллелограмм имеет вращательную симметрию 2-го порядка.
• Сумма расстояний от любой внутренней точки параллелограмма до сторон не зависит от местоположения точки.
В чем разница между параллелограммом и четырехугольником?
• Четырехугольники - это многоугольники с четырьмя сторонами (иногда называемые четырехугольниками), а параллелограмм - это особый тип четырехугольника.
• Четырехугольники могут иметь стороны в разных плоскостях (в трехмерном пространстве), в то время как все стороны параллелограмма лежат в одной плоскости (плоская / двумерная).
• Внутренние углы четырехугольника могут принимать любое значение (включая углы отражения), в сумме они составляют 3600. Параллелограммы могут иметь только тупые углы в качестве максимального типа угла.
• Четыре стороны четырехугольника могут быть разной длины, в то время как противоположные стороны параллелограмма всегда параллельны друг другу и равны по длине.
• Любая диагональ делит параллелограмм на два конгруэнтных треугольника, в то время как треугольники, образованные диагональю общего четырехугольника, не обязательно конгруэнтны.
