Разница между рядами Фурье и преобразованием Фурье

2024 Автор: Mildred Bawerman | [email protected]. Последнее изменение: 2023-12-16 08:42

Ряд Фурье против преобразования Фурье

Ряд Фурье разлагает периодическую функцию на сумму синусов и косинусов с разными частотами и амплитудами. Ряды Фурье - это ветвь анализа Фурье, введенная Джозефом Фурье. Преобразование Фурье - это математическая операция, которая разбивает сигнал на составляющие его частоты. Исходный сигнал, который изменился со временем, называется представлением сигнала во временной области. Преобразование Фурье называется представлением сигнала в частотной области, поскольку оно зависит от частоты. И представление сигнала в частотной области, и процесс, используемый для преобразования этого сигнала в частотную область, называются преобразованием Фурье.

Что такое ряд Фурье?

Как упоминалось ранее, ряд Фурье представляет собой разложение периодической функции с использованием бесконечной суммы синусов и косинусов. Первоначально ряды Фурье были разработаны при решении уравнений теплопроводности, но позже выяснилось, что тот же метод можно использовать для решения большого набора математических задач, особенно задач, которые включают линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Теперь серия Фурье находит применение во многих областях, включая электротехнику, анализ вибрации, акустику, оптику, обработку сигналов, обработку изображений, квантовую механику и эконометрику. Ряды Фурье используют отношения ортогональности функций синуса и косинуса. Вычисление и изучение рядов Фурье известно как гармонический анализ и очень полезно при работе с произвольными периодическими функциями,поскольку он позволяет разбить функцию на простые термины, которые можно использовать для получения решения исходной проблемы.

Что такое преобразование Фурье?

Преобразование Фурье определяет взаимосвязь между сигналом во временной области и его представлением в частотной области. Преобразование Фурье разлагает функцию на колебательные функции. Поскольку это преобразование, исходный сигнал может быть получен, зная преобразование, таким образом, никакая информация не создается и не теряется в процессе. Изучение рядов Фурье фактически дает мотивацию для преобразования Фурье. Из-за свойств синусов и косинусов можно восстановить количество каждой волны, вносимой в сумму, с помощью интеграла. Преобразование Фурье имеет некоторые основные свойства, такие как линейность, перенос, модуляция, масштабирование, сопряжение, двойственность и свертка. Преобразование Фурье применяется при решении дифференциальных уравнений, поскольку преобразование Фурье тесно связано с преобразованием Лапласа. Преобразование Фурье также используется в ядерном магнитном резонансе (ЯМР) и в других видах спектроскопии.

Разница между рядами Фурье и преобразованием Фурье

Ряд Фурье - это расширение периодического сигнала в виде линейной комбинации синусов и косинусов, а преобразование Фурье - это процесс или функция, используемые для преобразования сигналов из временной области в частотную. Ряд Фурье определен для периодических сигналов, а преобразование Фурье может применяться к апериодическим (возникающим без периодичности) сигналам. Как упоминалось выше, изучение рядов Фурье фактически дает мотивацию для преобразования Фурье.