Разностное уравнение против дифференциального уравнения
Природное явление можно описать математически с помощью функций ряда независимых переменных и параметров. Особенно когда они выражаются функцией пространственного положения и времени, это приводит к уравнениям. Функция может измениться при изменении независимых переменных или параметров. Бесконечно малое изменение, происходящее в функции при изменении одной из ее переменных, называется производной этой функции.
Дифференциальное уравнение - это любое уравнение, которое содержит производные функции, а также саму функцию. Простое дифференциальное уравнение - это второй закон движения Ньютона. Если объект массы m движется с ускорением «а» и на него действует сила F, то Второй закон Ньютона говорит нам, что F = ma. Здесь снова «а» меняется со временем, мы можем переписать «а» как; а = дв / дт; v - скорость. Скорость - это функция пространства и времени, то есть v = ds / dt; поэтому 'a' = d 2 s / dt 2.
Имея это в виду, мы можем переписать второй закон Ньютона в виде дифференциального уравнения;
'F' как функция от v и t - F (v, t) = mdv / dt, или
'F' как функция от s и t - F (s, ds / dt, t) = md 2 s / dt 2
Есть два типа дифференциальных уравнений; обыкновенное дифференциальное уравнение, сокращенно ODE или уравнение в частных производных, сокращенно PDE. В обыкновенное дифференциальное уравнение будут входить обыкновенные производные (производные только одной переменной). Уравнение с частными производными будет содержать дифференциальные производные (производные более чем одной переменной).
например, F = md 2 s / dt 2 - это ОДУ, тогда как α 2 d 2 u / dx 2 = du / dt - это УЧП, у него есть производные от t и x.
Разностное уравнение такое же, как дифференциальное уравнение, но мы смотрим на него в другом контексте. В дифференциальных уравнениях независимая переменная, такая как время, рассматривается в контексте системы непрерывного времени. В системе с дискретным временем мы называем функцию разностным уравнением.
Уравнение разностей - это функция разностей. Различия в независимых переменных бывают трех типов; последовательность чисел, дискретная динамическая система и повторяющаяся функция.
В последовательности чисел изменение генерируется рекурсивно с использованием правила для связи каждого числа в последовательности с предыдущими числами в последовательности.
Разностное уравнение в дискретной динамической системе принимает некоторый дискретный входной сигнал и создает выходной сигнал.
Разностное уравнение - это повторяющаяся карта для повторяющейся функции. Например, y 0, f (y 0), f (f (y 0)), f (f (f (y 0))),…. - это последовательность повторяемой функции. F (y 0) - это первая итерация y 0. K-ую итерацию обозначим f k (y 0).
