Разница между разностным и дифференциальным уравнениями

2024 Автор: Mildred Bawerman | [email protected]. Последнее изменение: 2023-12-16 08:42

Разностное уравнение против дифференциального уравнения

Природное явление можно описать математически с помощью функций ряда независимых переменных и параметров. Особенно когда они выражаются функцией пространственного положения и времени, это приводит к уравнениям. Функция может измениться при изменении независимых переменных или параметров. Бесконечно малое изменение, происходящее в функции при изменении одной из ее переменных, называется производной этой функции.

Дифференциальное уравнение - это любое уравнение, которое содержит производные функции, а также саму функцию. Простое дифференциальное уравнение - это второй закон движения Ньютона. Если объект массы m движется с ускорением «а» и на него действует сила F, то Второй закон Ньютона говорит нам, что F = ma. Здесь снова «а» меняется со временем, мы можем переписать «а» как; а = дв / дт; v - скорость. Скорость - это функция пространства и времени, то есть v = ds / dt; поэтому 'a' = d ² s / dt ².

Имея это в виду, мы можем переписать второй закон Ньютона в виде дифференциального уравнения;

'F' как функция от v и t - F (v, t) = mdv / dt, или

'F' как функция от s и t - F (s, ds / dt, t) = md ² s / dt ²

Есть два типа дифференциальных уравнений; обыкновенное дифференциальное уравнение, сокращенно ODE или уравнение в частных производных, сокращенно PDE. В обыкновенное дифференциальное уравнение будут входить обыкновенные производные (производные только одной переменной). Уравнение с частными производными будет содержать дифференциальные производные (производные более чем одной переменной).

например, F = md ² s / dt ² - это ОДУ, тогда как α ² d ² u / dx ² = du / dt - это УЧП, у него есть производные от t и x.

Разностное уравнение такое же, как дифференциальное уравнение, но мы смотрим на него в другом контексте. В дифференциальных уравнениях независимая переменная, такая как время, рассматривается в контексте системы непрерывного времени. В системе с дискретным временем мы называем функцию разностным уравнением.

Уравнение разностей - это функция разностей. Различия в независимых переменных бывают трех типов; последовательность чисел, дискретная динамическая система и повторяющаяся функция.

В последовательности чисел изменение генерируется рекурсивно с использованием правила для связи каждого числа в последовательности с предыдущими числами в последовательности.

Разностное уравнение в дискретной динамической системе принимает некоторый дискретный входной сигнал и создает выходной сигнал.

Разностное уравнение - это повторяющаяся карта для повторяющейся функции. Например, y ₀, f (y ₀), f (f (y ₀)), f (f (f (y ₀))),…. - это последовательность повторяемой функции. F (y ₀) - это первая итерация y ₀. K-ую итерацию обозначим f ^k (y ₀).