Разница между степенным рядом и серией Тейлора

2024 Автор: Mildred Bawerman | [email protected]. Последнее изменение: 2024-01-09 22:11

Серия Power против серии Тейлора

В математике реальная последовательность - это упорядоченный список действительных чисел. Формально это функция от набора натуральных чисел до набора действительных чисел. Если _n является n- ^м членом последовательности, мы обозначаем последовательность как ₁, a ₂,…, a _n, …. Например, рассмотрим последовательность 1, ½, ⅓,…, ¹ / _n, …. Его можно обозначить как {1 / n}.

Можно определить серию с помощью последовательностей. Серии - это сумма членов последовательности. Следовательно, для каждой последовательности существует соответствующая последовательность, и наоборот. Если {a _n} - рассматриваемая последовательность, то последовательность, образованная этой последовательностью, может быть представлена как:

Таким образом, в приведенном выше примере, связанный серия 1+ ¹ / ₂ + ¹ / ₃ + … + ¹ / _п + ….

Как следует из названия, степенной ряд - это особый тип рядов, который широко используется в численном анализе и связанном математическом моделировании. Ряд Тейлора - это специальный степенной ряд, который обеспечивает альтернативный и простой в использовании способ представления хорошо известных функций.

Что такое серия Power?

Силовой ряд - это ряд вида

которое сходится (возможно) для некоторого интервала с центром в c. Коэффициенты a _n могут быть действительными или комплексными числами и не зависят от x; т.е. фиктивная переменная.

Например, устанавливая _n = 1 для каждого n и c = 0, получается степенной ряд 1 + x + x ² +….. + x ⁿ +…. Легко заметить, что при x ε (-1,1) этот степенной ряд сходится к 1 / (1-x).

Степенный ряд сходится, когда x = c. Другие значения x, для которых степенной ряд сходится, всегда будут иметь форму открытого интервала с центром в c. То есть будет такое значение 0≤ R ≤ ∞, что для каждого x, удовлетворяющего | xc | ≤ R, степенной ряд сходится, а для каждого x, удовлетворяющего | xc |> R, степенной ряд расходится. Это значение R называется радиусом сходимости степенного ряда (R может принимать любое действительное значение или положительную бесконечность).

Ряды степеней можно складывать, вычитать, умножать и делить, используя следующие правила. Рассмотрим два степенных ряда:

Потом,

т.е. одинаковые термины складываются или вычитаются вместе. Кроме того, можно умножить и разделить два степенных ряда, используя тождество,

Что такое серия Тейлора?

Ряд Тейлора определен для функции f (x), бесконечно дифференцируемой на интервале. Предположим, что f (x) дифференцируема на интервале с центром c. Тогда степенной ряд, который задается

называется разложением в ряд Тейлора функции f (x) относительно c. (Здесь f ⁽ⁿ⁾ (c) обозначает n- ^ю производную при x = c). В численном анализе конечное число членов в этом бесконечном разложении используется для вычисления значений в точках, где ряд сходится к исходной функции.

Функция f (x) называется аналитической в интервале (a, b), если для каждого x ε (a, b) ряд Тейлора функции f (x) сходится к функции f (x). Например, 1 / (1-x) является аналитическим на (-1,1), поскольку его разложение Тейлора 1 + x + x ² +….. + x ⁿ +… сходится к функции на этом интервале, а e ^x аналитична всюду, так как ряд Тейлора e ^x сходится к e ^x для каждого действительного числа x.