Серия Power против серии Тейлора
В математике реальная последовательность - это упорядоченный список действительных чисел. Формально это функция от набора натуральных чисел до набора действительных чисел. Если n является n- м членом последовательности, мы обозначаем последовательность как 1, a 2,…, a n, …. Например, рассмотрим последовательность 1, ½, ⅓,…, 1 / n, …. Его можно обозначить как {1 / n}.
Можно определить серию с помощью последовательностей. Серии - это сумма членов последовательности. Следовательно, для каждой последовательности существует соответствующая последовательность, и наоборот. Если {a n} - рассматриваемая последовательность, то последовательность, образованная этой последовательностью, может быть представлена как:
Таким образом, в приведенном выше примере, связанный серия 1+ 1 / 2 + 1 / 3 + … + 1 / п + ….
Как следует из названия, степенной ряд - это особый тип рядов, который широко используется в численном анализе и связанном математическом моделировании. Ряд Тейлора - это специальный степенной ряд, который обеспечивает альтернативный и простой в использовании способ представления хорошо известных функций.
Что такое серия Power?
Силовой ряд - это ряд вида
которое сходится (возможно) для некоторого интервала с центром в c. Коэффициенты a n могут быть действительными или комплексными числами и не зависят от x; т.е. фиктивная переменная.
Например, устанавливая n = 1 для каждого n и c = 0, получается степенной ряд 1 + x + x 2 +….. + x n +…. Легко заметить, что при x ε (-1,1) этот степенной ряд сходится к 1 / (1-x).
Степенный ряд сходится, когда x = c. Другие значения x, для которых степенной ряд сходится, всегда будут иметь форму открытого интервала с центром в c. То есть будет такое значение 0≤ R ≤ ∞, что для каждого x, удовлетворяющего | xc | ≤ R, степенной ряд сходится, а для каждого x, удовлетворяющего | xc |> R, степенной ряд расходится. Это значение R называется радиусом сходимости степенного ряда (R может принимать любое действительное значение или положительную бесконечность).
Ряды степеней можно складывать, вычитать, умножать и делить, используя следующие правила. Рассмотрим два степенных ряда:
Потом,
т.е. одинаковые термины складываются или вычитаются вместе. Кроме того, можно умножить и разделить два степенных ряда, используя тождество,
Что такое серия Тейлора?
Ряд Тейлора определен для функции f (x), бесконечно дифференцируемой на интервале. Предположим, что f (x) дифференцируема на интервале с центром c. Тогда степенной ряд, который задается
называется разложением в ряд Тейлора функции f (x) относительно c. (Здесь f (n) (c) обозначает n- ю производную при x = c). В численном анализе конечное число членов в этом бесконечном разложении используется для вычисления значений в точках, где ряд сходится к исходной функции.
Функция f (x) называется аналитической в интервале (a, b), если для каждого x ε (a, b) ряд Тейлора функции f (x) сходится к функции f (x). Например, 1 / (1-x) является аналитическим на (-1,1), поскольку его разложение Тейлора 1 + x + x 2 +….. + x n +… сходится к функции на этом интервале, а e x аналитична всюду, так как ряд Тейлора e x сходится к e x для каждого действительного числа x.
В чем разница между серией Power и серией Тейлора?
1. Ряды Тейлора - это особый класс степенных рядов, определенных только для функций, бесконечно дифференцируемых на некотором открытом интервале.
2. Ряд Тейлора принимает особую форму.
тогда как степенной ряд может быть любым рядом вида
