Разница между дифференцированием и производной

2024 Автор: Mildred Bawerman | [email protected]. Последнее изменение: 2023-12-16 08:42

Дифференциация против производной

В дифференциальном исчислении производная и дифференцирование тесно связаны, но очень разные, и используются для представления двух важных математических концепций, связанных с функциями.

Что такое производная?

Производная функции измеряет скорость, с которой значение функции изменяется при изменении ее входных данных. В функциях с несколькими переменными изменение значения функции зависит от направления изменения значений независимых переменных. Поэтому в таких случаях выбирается конкретное направление, и функция дифференцируется в этом конкретном направлении. Эта производная называется производной по направлению. Частные производные - это особый вид производных по направлению.

Производная векторной функции f может быть определена как предел

там, где она существует конечно. Как упоминалось ранее, это дает нам скорость роста функции f вдоль направления вектора u. В случае однозначной функции это сводится к хорошо известному определению производной:

Например,

всюду дифференцируема, а производная равна пределу

что равно

. Производные таких функций

существуют везде. Они соответственно равны функциям

Это известно как первая производная. Обычно первая производная функции f обозначается f ⁽¹⁾. Теперь, используя эти обозначения, можно определять производные более высокого порядка.

является производной второго порядка по направлению, и обозначение n- ^й производной через f ⁽ⁿ⁾ для каждого n

определяет n- ^ю производную.

Что такое дифференциация?

Дифференциация - это процесс нахождения производной дифференцируемой функции. D-оператор, обозначенный D, представляет собой дифференцирование в некоторых контекстах. Если x - независимая переменная, то D ≡ ^d / _dx. D-оператор является линейным оператором, т.е. для любых двух дифференцируемых функций f и g и константы c выполняются следующие свойства.

I. D (f + g) = D (f) + D (g)

II. D (cf) = cD (f)

Используя D-оператор, другие правила, связанные с дифференцированием, можно выразить следующим образом. D (fg) = D (f) g + f D (g), D (^f / _g) = ^{[D (f) g - f D (g)]} / _g ² и D (туман) = (D (f) og) D (г).

Например, когда F (x) = x ² sin x дифференцируется по x с использованием данных правил, ответ будет 2 x sin x + x ² cos x.

В чем разница между дифференциацией и производной?

• Производная означает скорость изменения функции.

• Дифференциация - это процесс нахождения производной функции.