Дифференциация против производной
В дифференциальном исчислении производная и дифференцирование тесно связаны, но очень разные, и используются для представления двух важных математических концепций, связанных с функциями.
Что такое производная?
Производная функции измеряет скорость, с которой значение функции изменяется при изменении ее входных данных. В функциях с несколькими переменными изменение значения функции зависит от направления изменения значений независимых переменных. Поэтому в таких случаях выбирается конкретное направление, и функция дифференцируется в этом конкретном направлении. Эта производная называется производной по направлению. Частные производные - это особый вид производных по направлению.
Производная векторной функции f может быть определена как предел
там, где она существует конечно. Как упоминалось ранее, это дает нам скорость роста функции f вдоль направления вектора u. В случае однозначной функции это сводится к хорошо известному определению производной:
Например,
всюду дифференцируема, а производная равна пределу
что равно
. Производные таких функций
существуют везде. Они соответственно равны функциям
Это известно как первая производная. Обычно первая производная функции f обозначается f (1). Теперь, используя эти обозначения, можно определять производные более высокого порядка.
является производной второго порядка по направлению, и обозначение n- й производной через f (n) для каждого n
определяет n- ю производную.
Что такое дифференциация?
Дифференциация - это процесс нахождения производной дифференцируемой функции. D-оператор, обозначенный D, представляет собой дифференцирование в некоторых контекстах. Если x - независимая переменная, то D ≡ d / dx. D-оператор является линейным оператором, т.е. для любых двух дифференцируемых функций f и g и константы c выполняются следующие свойства.
I. D (f + g) = D (f) + D (g)
II. D (cf) = cD (f)
Используя D-оператор, другие правила, связанные с дифференцированием, можно выразить следующим образом. D (fg) = D (f) g + f D (g), D (f / g) = [D (f) g - f D (g)] / g 2 и D (туман) = (D (f) og) D (г).
Например, когда F (x) = x 2 sin x дифференцируется по x с использованием данных правил, ответ будет 2 x sin x + x 2 cos x.
В чем разница между дифференциацией и производной?
• Производная означает скорость изменения функции.
• Дифференциация - это процесс нахождения производной функции.
