Производная против дифференциала
В дифференциальном исчислении производная и дифференциал функции тесно связаны, но имеют очень разные значения и используются для представления двух важных математических объектов, связанных с дифференцируемыми функциями.
Что такое производная?
Производная функции измеряет скорость, с которой значение функции изменяется при изменении ее входных данных. В функциях с несколькими переменными изменение значения функции зависит от направления изменения значений независимых переменных. Поэтому в таких случаях выбирается конкретное направление, и функция дифференцируется в этом конкретном направлении. Эта производная называется производной по направлению. Частные производные - это особый вид производных по направлению.
Производная векторной функции f может быть определена как предел
там, где она существует конечно. Как упоминалось ранее, это дает нам скорость роста функции f вдоль направления вектора u. В случае однозначной функции это сводится к хорошо известному определению производной:
Например,
всюду дифференцируема, а производная равна пределу
что равно
. Производные таких функций
существуют везде. Они соответственно равны функциям
Это известно как первая производная. Обычно первая производная функции f обозначается f (1). Теперь, используя эти обозначения, можно определять производные более высокого порядка.
является производной второго порядка по направлению, и обозначение n- й производной через f (n) для каждого n
определяет n- ю производную.
Что такое дифференциал?
Дифференциал функции представляет собой изменение функции по отношению к изменениям в независимой переменной или переменных. В обычных обозначениях, для заданной функции F одной переменной х, полный дифференциал порядка 1 ДФ определяется,
. Это означает, что при бесконечно малом изменении x (т.е. dx) произойдет изменение f (1) (x) dx.
Используя ограничения, можно прийти к этому определению следующим образом. Предположим, что ∆ x - это изменение x в произвольной точке x, а ∆ f - соответствующее изменение функции f. Можно показать, что ∆ f = f (1) (x) ∆ x + ϵ, где ϵ - ошибка. Теперь предел ∆ x → 0 ∆ f / ∆ x = f (1) (x) (используя ранее сформулированное определение производной) и, таким образом, ∆ x → 0 ϵ / ∆ x = 0. Следовательно, можно заключаем, что ∆ x → 0 ϵ = 0. Теперь, обозначая ∆ x → 0 ∆ f как df и ∆ x → 0 ∆ x как dx, определение дифференциала строго получается.
Например, дифференциал функции
равен
В случае функций двух или более переменных полный дифференциал функции определяется как сумма дифференциалов в направлениях каждой из независимых переменных. Математически это можно обозначить как
В чем разница между производной и дифференциалом?
• Производная относится к скорости изменения функции, тогда как дифференциал относится к фактическому изменению функции, когда независимая переменная подвергается изменению.
• Производная задается как
а дифференциал - как
