Разница между производной и дифференциалом

2024 Автор: Mildred Bawerman | [email protected]. Последнее изменение: 2023-12-16 08:42

Производная против дифференциала

В дифференциальном исчислении производная и дифференциал функции тесно связаны, но имеют очень разные значения и используются для представления двух важных математических объектов, связанных с дифференцируемыми функциями.

Что такое производная?

Производная функции измеряет скорость, с которой значение функции изменяется при изменении ее входных данных. В функциях с несколькими переменными изменение значения функции зависит от направления изменения значений независимых переменных. Поэтому в таких случаях выбирается конкретное направление, и функция дифференцируется в этом конкретном направлении. Эта производная называется производной по направлению. Частные производные - это особый вид производных по направлению.

Производная векторной функции f может быть определена как предел

там, где она существует конечно. Как упоминалось ранее, это дает нам скорость роста функции f вдоль направления вектора u. В случае однозначной функции это сводится к хорошо известному определению производной:

Например,

всюду дифференцируема, а производная равна пределу

что равно

. Производные таких функций

существуют везде. Они соответственно равны функциям

Это известно как первая производная. Обычно первая производная функции f обозначается f ⁽¹⁾. Теперь, используя эти обозначения, можно определять производные более высокого порядка.

является производной второго порядка по направлению, и обозначение n- ^й производной через f ⁽ⁿ⁾ для каждого n

определяет n- ^ю производную.

Что такое дифференциал?

Дифференциал функции представляет собой изменение функции по отношению к изменениям в независимой переменной или переменных. В обычных обозначениях, для заданной функции F одной переменной х, полный дифференциал порядка 1 ДФ определяется,

. Это означает, что при бесконечно малом изменении x (т.е. dx) произойдет изменение f ⁽¹⁾ (x) dx.

Используя ограничения, можно прийти к этому определению следующим образом. Предположим, что ∆ x - это изменение x в произвольной точке x, а ∆ f - соответствующее изменение функции f. Можно показать, что ∆ f = f ⁽¹⁾ (x) ∆ x + ϵ, где ϵ - ошибка. Теперь предел ∆ x → 0 ^{∆ f} / _{∆ x} = f ⁽¹⁾ (x) (используя ранее сформулированное определение производной) и, таким образом, ∆ x → 0 ^ϵ / _{∆ x} = 0. Следовательно, можно заключаем, что ∆ x → 0 ϵ = 0. Теперь, обозначая ∆ x → 0 ∆ f как df и ∆ x → 0 ∆ x как dx, определение дифференциала строго получается.

Например, дифференциал функции

равен

В случае функций двух или более переменных полный дифференциал функции определяется как сумма дифференциалов в направлениях каждой из независимых переменных. Математически это можно обозначить как

В чем разница между производной и дифференциалом?

• Производная относится к скорости изменения функции, тогда как дифференциал относится к фактическому изменению функции, когда независимая переменная подвергается изменению.

• Производная задается как

а дифференциал - как