Разница между определенным и неопределенным интегралами

2024 Автор: Mildred Bawerman | [email protected]. Последнее изменение: 2023-12-16 08:42

Определенные и неопределенные интегралы

Исчисление - это важный раздел математики, и дифференцирование играет решающую роль в исчислении. Обратный процесс дифференцирования известен как интегрирование, а обратный процесс известен как интеграл, или, проще говоря, обратный процесс дифференцирования дает интеграл. На основе полученных ими результатов интегралы делятся на два класса; определенные и неопределенные интегралы.

Подробнее о неопределенных интегралах

Неопределенный интеграл - это скорее общая форма интегрирования, и его можно интерпретировать как антипроизводную рассматриваемой функции. Предположим, что дифференцирование F дает f, а интегрирование f дает интеграл. Его часто записывают как F (x) = ∫ƒ (x) dx или F = ∫ƒ dx, где F и ƒ являются функциями от x, а F дифференцируема. В приведенной выше форме он называется интегралом Реймана, и полученная функция сопровождает произвольную константу. Неопределенный интеграл часто дает семейство функций; следовательно, интеграл неопределенен.

Интегралы и процесс интегрирования лежат в основе решения дифференциальных уравнений. Однако, в отличие от дифференциации, интеграция не всегда следует четкой и стандартной программе; иногда решение не может быть явно выражено в терминах элементарной функции. В этом случае аналитическое решение часто дается в виде неопределенного интеграла.

Подробнее об определенных интегралах

Определенные интегралы являются очень ценными аналогами неопределенных интегралов, когда процесс интегрирования фактически дает конечное число. Графически ее можно определить как площадь, ограниченную кривой функции в заданном интервале. Всякий раз, когда интегрирование производится в пределах заданного интервала независимой переменной, интегрирование производит определенное значение, которое часто записывается как _в ∫ ^б ƒ (х) ах или ∫ ^б ƒdx.

Неопределенные интегралы и определенные интегралы связаны между собой посредством первой фундаментальной теоремы исчисления, и это позволяет вычислять определенный интеграл с использованием неопределенных интегралов. Теорема утверждает, _а ∫ ^б ƒ (х) ах = F (B) -F (а), где оба F и ƒ являются функциями от х, а Р дифференцируема в интервале (а, б). Учитывая интервал, a и b известны как нижний предел и верхний предел соответственно.

Вместо того, чтобы останавливаться только на реальных функциях, интегрирование может быть расширено до комплексных функций, и эти интегралы называются контурными интегралами, где ƒ является функцией комплексной переменной.

В чем разница между определенным и неопределенным интегралами?

Неопределенные интегралы представляют собой антипроизводную функции и часто семейство функций, а не определенное решение. В определенных интегралах интегрирование дает конечное число.

Неопределенные интегралы связывают произвольную переменную (отсюда и семейство функций), а определенные интегралы не имеют произвольной константы, а имеют верхний предел и нижний предел интегрирования.

Неопределенный интеграл обычно дает общее решение дифференциального уравнения.