Функция распределения вероятностей против функции плотности вероятности
Вероятность - это вероятность того, что событие произойдет. Эта идея очень распространена и часто используется в повседневной жизни, когда мы оцениваем наши возможности, транзакции и многое другое. Распространить эту простую концепцию на более широкий набор событий немного сложнее. Например, мы не можем легко вычислить шансы на выигрыш в лотерею, но удобно, довольно интуитивно сказать, что существует вероятность того, что каждый шестой получит номер шесть в брошенной кости.
Когда количество событий, которые могут произойти, становится больше или количество индивидуальных возможностей велико, эта довольно простая идея вероятности терпит неудачу. Следовательно, перед тем, как приступить к проблемам более высокой сложности, необходимо дать твердое математическое определение.
Когда количество событий, которые могут произойти в одной ситуации, велико, невозможно рассматривать каждое событие в отдельности, как в примере с брошенным кубиком. Таким образом, весь набор событий резюмируется путем введения понятия случайной величины. Это переменная, которая может принимать значения различных событий в этой конкретной ситуации (или в пространстве выборки). Это дает математический смысл простым событиям в ситуации и математический способ обращения к событию. Точнее, случайная величина - это функция действительного значения по элементам пространства выборки. Случайные величины могут быть дискретными или непрерывными. Их обычно обозначают прописными буквами английского алфавита.
Функция распределения вероятностей (или просто распределение вероятностей) - это функция, которая присваивает значения вероятности для каждого события; т.е. он обеспечивает отношение к вероятностям значений, которые может принимать случайная величина. Функция распределения вероятностей определена для дискретных случайных величин.
Функция плотности вероятности является эквивалентом функции распределения вероятностей для непрерывных случайных величин, дает вероятность того, что некоторая случайная величина принимает определенное значение.
Если X - дискретная случайная величина, функция, заданная как f (x) = P (X = x) для каждого x в пределах диапазона X, называется функцией распределения вероятностей. Функция может служить функцией распределения вероятностей тогда и только тогда, когда функция удовлетворяет следующим условиям.
1. f (x) ≥ 0
2. ∑ f (x) = 1
Функция f (x), которая определена на множестве действительных чисел, называется функцией плотности вероятности непрерывной случайной величины X, если и только если,
P (a ≤ x ≤ b) = a ∫ b f (x) dx для любых вещественных констант a и b.
Функция плотности вероятности также должна удовлетворять следующим условиям.
1. f (x) ≥ 0 для всех x: -∞ <x <+ ∞
2. -∞ ∫ + ∞ f (x) dx = 1
И функция распределения вероятностей, и функция плотности вероятности используются для представления распределения вероятностей в пространстве выборки. Обычно это называется распределением вероятностей.
Для статистического моделирования выводятся стандартные функции плотности вероятности и функции распределения вероятностей. Нормальное распределение и стандартное нормальное распределение являются примерами непрерывных распределений вероятностей. Биномиальное распределение и распределение Пуассона являются примерами дискретных распределений вероятностей.
В чем разница между распределением вероятностей и функцией плотности вероятности?
• Функция распределения вероятностей и функция плотности вероятности - это функции, определенные в пространстве выборки, чтобы присвоить соответствующее значение вероятности каждому элементу.
• Функции распределения вероятностей определены для дискретных случайных величин, а функции плотности вероятности определены для непрерывных случайных величин.
• Распределение значений вероятности (т.е. распределения вероятностей) лучше всего описывается функцией плотности вероятности и функцией распределения вероятностей.
• Функция распределения вероятности может быть представлена в виде значений в таблице, но это невозможно для функции плотности вероятности, поскольку переменная является непрерывной.
• При построении функция распределения вероятностей дает столбиковый график, а функция плотности вероятности дает кривую.
• Высота / длина полосок функции распределения вероятностей должна составлять 1, а площадь под кривой функции плотности вероятности должна составлять 1.
• В обоих случаях все значения функции должны быть неотрицательными.
