Дискретная функция против непрерывной функции
Функции - один из наиболее важных классов математических объектов, которые широко используются почти во всех подразделах математики. Судя по их названиям, как дискретные, так и непрерывные функции - это два особых типа функций.
Функция - это отношение между двумя наборами, определенное таким образом, что для каждого элемента в первом наборе значение, соответствующее ему во втором наборе, является уникальным. Пусть f - функция, определенная из множества A в множество B. Тогда для каждого x ϵ A символ f (x) обозначает уникальное значение в множестве B, которое соответствует x. Он называется образом x при f. Следовательно, отношение f из A в B является функцией, если и только если для каждого xϵ A и y ϵ A; если x = y, то f (x) = f (y). Набор A называется областью определения функции f, и это набор, в котором функция определена.
Например, рассмотрим отношение f из R в R, определяемое формулой f (x) = x + 2 для каждого xϵ A. Это функция, область определения которой равна R, так как для каждого действительного числа x и y x = y влечет f (x) = x + 2 = y + 2 = f (y). Но отношение g из N в N, определяемое формулой g (x) = a, где 'a' - простые множители x, не является функцией, поскольку g (6) = 3, а также g (6) = 2.
Что такое дискретная функция?
Дискретная функция - это функция, область определения которой не более чем счетна. Проще говоря, это означает, что можно составить список, включающий все элементы домена.
Любое конечное множество не более чем счетно. Набор натуральных чисел и набор рациональных чисел являются примерами не более чем счетных бесконечных множеств. Множество действительных чисел и множество иррациональных чисел не более чем счетно. Оба набора неисчислимы. Это означает, что невозможно составить список, включающий все элементы этих наборов.
Одна из наиболее распространенных дискретных функций - это факториальная функция. Функция f: NU {0} → N, рекурсивно определяемая формулой f (n) = nf (n-1) для каждого n ≥ 1 и f (0) = 1, называется факториальной функцией. Обратите внимание, что его домен NU {0} не более чем счетный.
Что такое непрерывная функция?
Пусть f - такая функция, что для каждого k в области определения f f (x) → f (k) при x → k. Тогда f - непрерывная функция. Это означает, что можно сделать f (x) сколь угодно близким к f (k), сделав x достаточно близким к k для каждого k в области определения f.
Рассмотрим функцию f (x) = x + 2 на R. Видно, что при x → k, x + 2 → k + 2, то есть f (x) → f (k). Следовательно, f - непрерывная функция. Теперь рассмотрим g на положительных действительных числах g (x) = 1, если x> 0, и g (x) = 0, если x = 0. Тогда эта функция не является непрерывной функцией, поскольку предел g (x) не существует. (а значит, не равно g (0)) при x → 0.
В чем разница между дискретной и непрерывной функцией?
• Дискретная функция - это функция, область определения которой не более чем счетна, но это не обязательно для непрерывных функций.
• Все непрерывные функции ƒ обладают тем свойством, что ƒ (x) → ƒ (k) при x → k для каждого x и для каждого k в области определения ƒ, но это не так для некоторых дискретных функций.
