Транспонирование против сопряженного транспонирования
Транспонирование матрицы A можно идентифицировать как матрицу, полученную переупорядочиванием столбцов как строк или строк как столбцов. В результате индексы каждого элемента меняются местами. Более формально транспонирование матрицы A определяется как
где
В транспонированной матрице диагональ остается неизменной. Но все остальные элементы повернуты по диагонали. Кроме того, размер матриц также изменяется от m × n до n × m.
Транспонирование имеет несколько важных свойств, которые упрощают манипуляции с матрицами. Кроме того, некоторые важные матрицы транспонирования определяются на основе их характеристик. Если матрица равна своей транспонированной, то матрица симметрична. Если матрица равна своему отрицательному значению транспонирования, то матрица является кососимметричной.
Сопряженное транспонирование матрицы - это транспонирование матрицы с элементами, замененными ее комплексно сопряженным элементом. То есть комплексное сопряжение (A *) определяется как транспонирование комплексного сопряжения матрицы A.
А * = (Ā) Т; В деталях,
где
и ā ji ε C.
Он также известен как эрмитово транспонирование и эрмитово сопряжение. Если сопряженное транспонирование равно самой матрице, матрица называется эрмитовой матрицей. Если сопряженное транспонирование равно отрицанию матрицы, это косая эрмитова матрица. И если обратная матрица равна комплексно сопряженной, матрица унитарна.
Точно так же все специальные комплексно сопряженные матрицы также имеют особые свойства, которые можно использовать для простого математического манипулирования ими. Сопряженное транспонирование широко используется в квантовой механике и связанных с ней областях.
В чем разница между транспонированием и сопряженным транспонированием?
• Транспонирование матрицы достигается перестановкой столбцов в строки или строк в столбцы. Комплексно сопряженный элемент матрицы получается заменой каждого элемента его комплексно сопряженным элементом (т.е. x + iy ⇛ x-iy или наоборот). Сопряженное транспонирование получается путем выполнения обеих операций с матрицей.
• Следовательно, сопряженное транспонирование - это просто матрица транспонирования с комплексно сопряженными элементами в качестве элементов.
