Транспонирование против обратной матрицы
Транспонирование и обратное - это два типа матриц со специальными свойствами, с которыми мы сталкиваемся в матричной алгебре. Они отличаются друг от друга и не имеют близких отношений, поскольку операции, выполняемые для их получения, различны.
Они имеют широкое применение в области линейной алгебры и производных реализаций, таких как информатика.
Подробнее о матрице транспонирования
Транспонирование матрицы A можно идентифицировать как матрицу, полученную переупорядочиванием столбцов как строк или строк как столбцов. В результате индексы каждого элемента меняются местами. Более формально транспонирование матрицы A определяется как
где
В транспонированной матрице диагональ остается неизменной, но все остальные элементы поворачиваются вокруг диагонали. Кроме того, размер матриц также изменяется от m × n до n × m.
Транспонирование имеет несколько важных свойств, которые упрощают манипуляции с матрицами. Кроме того, некоторые важные матрицы транспонирования определяются на основе их характеристик. Если матрица равна своей транспонированной, то матрица симметрична. Если матрица равна своему отрицательному значению транспонирования, матрица является кососимметричной. Сопряженное транспонирование матрицы - это транспонирование матрицы с элементами, замененными ее комплексно сопряженным элементом.
Подробнее об обратной матрице
Инверсия матрицы определяется как матрица, которая дает единичную матрицу при умножении. Следовательно, по определению, если AB = BA = I, то B - это обратная матрица к A, а A - это обратная матрица к B. Итак, если мы рассматриваем B = A -1, то AA -1 = A -1 A = I
Для того чтобы матрица была обратимой, необходимо и достаточно, чтобы определитель матрицы A отличался от нуля; т.е. | А | = det (A) ≠ 0. Матрица называется обратимой, невырожденной или невырожденной, если она удовлетворяет этому условию. Отсюда следует, что A - квадратная матрица, и обе матрицы A -1 и A имеют одинаковый размер.
Матрица, обратная матрице A, может быть вычислена многими методами линейной алгебры, такими как исключение Гаусса, собственное разложение, разложение Холецкого и правило Кармера. Матрица также может быть обращена методом блочной инверсии и рядами Неймана.
В чем разница между транспонированием и обратной матрицей?
• Транспонирование достигается путем перестановки столбцов и строк в матрице, а обратное - путем относительно сложных численных вычислений. (Но на самом деле оба являются линейными преобразованиями)
• Как прямой результат, элементы в транспонировании только меняют свое положение, но значения остаются прежними. Но в обратном случае числа могут полностью отличаться от исходной матрицы.
• Каждая матрица может иметь транспонирование, но обратное определено только для квадратных матриц, и определитель должен быть ненулевым определителем.
