Кардинал против порядкового
В нашей повседневной жизни использование чисел может принимать разные формы в разных ситуациях. Например, когда мы считаем, чтобы определить размер коллекции объектов, мы считаем их как один, два, три и так далее. Когда мы хотим что-то посчитать, чтобы понять положение объектов, мы считаем их первым, вторым, третьим и так далее. В первой форме счета числа называются кардинальными числами. Во второй форме счета числа считаются порядковыми числами. В этом контексте понятия кардинальный и порядковый полностью относятся к лингвистике; кардинальный и порядковый - прилагательные.
Однако распространение этого понятия на множества в математике открывает гораздо более глубокую и широкую перспективу и не может рассматриваться простыми словами. В этой статье мы попытаемся понять основные понятия о кардинальных и порядковых числах в математике.
Формальные определения кардинальных и порядковых чисел даны в теории множеств. Определения сложны, и для их точного понимания необходимы базовые знания теории множеств. Поэтому мы обратимся к паре примеров, чтобы понять концепции эвристически.
Рассмотрим два набора {1,3,6,4,5,2} и {автобус, автомобиль, паром, поезд, самолет, вертолет}. Каждый набор перечисляет набор элементов, и если мы посчитаем количество элементов, очевидно, что каждый имеет одинаковое количество элементов, равное 6. Придя к такому выводу, мы взяли размер одного набора и сравнили его с другим, используя количество. Такое число называется кардинальным числом. Следовательно, мы можем сказать, что кардинальное число - это число, которое мы можем использовать для сравнения размеров конечных множеств.
Опять же, первый набор чисел можно расположить в порядке возрастания, учитывая размер каждого элемента и сравнивая их. В процессе заказа числа считаются кардиналами. Точно так же набор всех неотрицательных целых чисел может быть упорядочен в наборе; т.е. {0,1,2,3,4,…..}. Но в этом случае размер набора становится бесконечным, и дать его в единицах ординалов невозможно. Независимо от того, насколько большое число вы выберете, чтобы дать размер набора, все равно из выбранного вами набора останутся числа, которые являются неотрицательными целыми числами.
Поэтому математики определяют этот бесконечный кардинал (который является первым) как Алеф-0, записываемый как א (первая буква еврейского алфавита). Формально порядковый номер - это тип заказа хорошо упорядоченного набора. Следовательно, порядковый номер конечных множеств может быть задан кардинальными числами, но для бесконечных множеств порядковый номер задается трансфинитными числами, такими как Алеф-0.
В чем разница между кардинальными и порядковыми числами?
• Кардинальное число - это число, которое можно использовать для подсчета или определения размера конечного упорядоченного множества. Все числа являются порядковыми.
• Порядковые числа - это числа, используемые для обозначения размера как конечных, так и бесконечных упорядоченных множеств. Размер конечных упорядоченных множеств задается обычными индо-арабскими алгебраическими числами, а размер бесконечного множества задается трансфинитными числами.
