Подмножество против надмножества
В математике понятие множества является фундаментальным. Современное изучение теории множеств было формализовано в конце 1800-х годов. Теория множеств - это фундаментальный язык математики и хранилище основных принципов современной математики. С другой стороны, это самостоятельный раздел математики, который классифицируется как ветвь математической логики в современной математике.
Набор - это четко определенный набор объектов. Четко определенный означает, что существует механизм, с помощью которого можно определить, принадлежит ли данный объект определенному набору или нет. Объекты, принадлежащие набору, называются элементами или членами набора. Наборы обычно обозначаются заглавными буквами, а строчные буквы используются для представления элементов.
Множество A называется подмножеством множества B; тогда и только тогда, когда каждый элемент множества A также является элементом множества B. Такое отношение между множествами обозначается как A ⊆ B. Его также можно читать как «A содержится в B». Множество A называется собственным подмножеством, если A ⊆ B и A ≠ B, и обозначается A ⊂ B. Если есть хотя бы один элемент в A, который не является элементом B, то A не может быть подмножеством B Пустой набор - это подмножество любого набора, а сам набор является подмножеством того же набора.
Если A является подмножеством B, то A содержится в B. Из этого следует, что B содержит A, или, другими словами, B является надмножеством A. Мы пишем A ⊇ B, чтобы обозначить, что B является надмножеством A.
Например, A = {1, 3} является подмножеством B = {1, 2, 3}, поскольку все элементы в A, содержащиеся в B. B - это надмножество A, потому что B содержит A. Пусть A = {1, 2, 3} и B = {3, 4, 5}. Тогда A∩B = {3}. Следовательно, и A, и B являются надмножествами A∩B. Множество A∪B является надмножеством как A, так и B, поскольку A∪B содержит все элементы из A и B.
Если A является надмножеством B, а B является надмножеством C, то A является надмножеством C. Любой набор A является надмножеством пустого набора, а любой набор сам является надмножеством этого набора.
«A является подмножеством B» также читается как «A содержится в B», что обозначается A ⊆ B.
«B является надмножеством A» также читается как «B содержится в A», обозначается A ⊇ B.
