Популяция против стандартного отклонения выборки
В статистике используются несколько индексов для описания набора данных, соответствующего его центральной тенденции, дисперсии и асимметрии. Стандартное отклонение - один из наиболее распространенных показателей разброса данных из центра набора данных.
Из-за практических трудностей при проверке гипотез невозможно будет использовать данные по всей совокупности. Поэтому мы используем значения данных из выборок, чтобы делать выводы о совокупности. В такой ситуации они называются оценщиками, поскольку они оценивают значения параметров совокупности.
При выводе чрезвычайно важно использовать объективные оценки. Оценщик называется несмещенным, если ожидаемое значение этого оценщика равно параметру совокупности. Например, мы используем выборочное среднее в качестве объективной оценки среднего генерального значения. (Математически можно показать, что ожидаемое значение выборочного среднего равно среднему по генеральной совокупности). В случае оценки стандартного отклонения совокупности стандартное отклонение выборки также является несмещенной оценкой.
Что такое стандартное отклонение населения?
Когда данные всего населения могут быть приняты во внимание (например, в случае переписи), можно рассчитать стандартное отклонение населения. Чтобы рассчитать стандартное отклонение генеральной совокупности, сначала рассчитываются отклонения значений данных от среднего значения генеральной совокупности. Среднеквадратичное значение отклонений называется стандартным отклонением генеральной совокупности.
В классе из 10 учеников можно легко собрать данные об учениках. Если гипотеза проверяется на этой популяции студентов, то нет необходимости использовать выборочные значения. Например, вес 10 учащихся (в килограммах) составляет 70, 62, 65, 72, 80, 70, 63, 72, 77 и 79. Тогда средний вес десяти человек (в килограммах) равен (70 + 62 + 65 + 72 + 80 + 70 + 63 + 72 + 77 + 79) / 10, что составляет 71 (в килограммах). Это среднее значение для населения.
Теперь, чтобы рассчитать стандартное отклонение генеральной совокупности, мы рассчитаем отклонения от среднего. Соответствующие отклонения от среднего: (70-71) = -1, (62-71) = -9, (65-71) = -6, (72-71) = 1, (80-71) = 9, (70 - 71) = -1, (63 - 71) = -8, (72 - 71) = 1, (77 - 71) = 6 и (79 - 71) = 8. Сумма квадратов отклонения равна (-1) 2 + (-9) 2 + (-6) 2 + 1 2 + 9 2 + (-1) 2 + (-8) 2 + 1 2 + 6 2 + 8 2 = 366. Стандартное отклонение совокупности равно √ (366/10) = 6,05 (в килограммах). 71 - это точный средний вес учащихся класса, а 6,05 - точное стандартное отклонение веса от 71.
Что такое стандартное отклонение выборки?
Когда данные из выборки (размера n) используются для оценки параметров генеральной совокупности, вычисляется стандартное отклонение выборки. Сначала рассчитываются отклонения значений данных от выборочного среднего. Поскольку среднее значение выборки используется вместо среднего значения генеральной совокупности (которое неизвестно), использование квадратичного среднего значения нецелесообразно. Чтобы компенсировать использование выборочного среднего, сумма квадратов отклонений делится на (n-1) вместо n. Стандартное отклонение выборки - это квадратный корень из этого значения. В математических символах S = √ {∑ (x i -ẍ) 2 / (n-1)}, где S - стандартное отклонение выборки, ẍ - среднее значение выборки, а x i ’s - точки данных.
Теперь предположим, что в предыдущем примере совокупность - это учащиеся всей школы. Тогда класс будет лишь образцом. Если эта выборка используется в оценке, стандартное отклонение выборки будет √ (366/9) = 6,38 (в килограммах), поскольку 366 было разделено на 9 вместо 10 (размер выборки). Следует отметить, что это не гарантируется точное значение стандартного отклонения генеральной совокупности. Это всего лишь оценка.
В чем разница между стандартным отклонением генеральной совокупности и стандартным отклонением выборки?
• Стандартное отклонение совокупности - это точное значение параметра, используемое для измерения разброса от центра, тогда как стандартное отклонение выборки является для него несмещенной оценкой.
• Стандартное отклонение населения рассчитывается, когда известны все данные по каждому отдельному лицу в совокупности. В противном случае рассчитывается стандартное отклонение выборки.
• Стандартное отклонение совокупности определяется выражением σ = √ {∑ (xi-µ) 2 / n}, где µ - среднее значение генеральной совокупности, а n - размер совокупности, но стандартное отклонение выборки определяется выражением S = √ {∑ (xi-ẍ) 2 / (n-1)}, где ẍ - среднее значение выборки, а n - размер выборки.
