Разница между интегрированием и суммированием

2024 Автор: Mildred Bawerman | [email protected]. Последнее изменение: 2023-12-16 08:42

Интеграция против суммирования

В вышеупомянутой математике средней школы интегрирование и суммирование часто встречаются в математических операциях. Казалось бы, они используются как разные инструменты и в разных ситуациях, но их связывают очень близкие отношения.

Подробнее о суммировании

Суммирование - это операция сложения последовательности чисел, и эта операция часто обозначается греческой буквой заглавной сигмы Σ. Он используется для сокращения суммирования и равен сумме / итогу последовательности. Они часто используются для представления серий, которые, по сути, представляют собой суммированные бесконечные последовательности. Их также можно использовать для обозначения суммы векторов, матриц или полиномов.

Суммирование обычно выполняется для диапазона значений, который может быть представлен общим термином, например рядами, имеющими общий член. Начальная точка и конечная точка суммирования известны как нижняя и верхняя границы суммирования соответственно.

Например, сумма последовательности a ₁, a ₂, a ₃, a ₄,…, a _n равна a ₁ + a ₂ + a ₃ +… + a _n, которая может быть легко представлена с использованием обозначения суммирования как ∑ ⁿ _{i = 1} a _i; i называется индексом суммирования.

Для суммирования используется множество вариаций в зависимости от приложения. В некоторых случаях верхняя и нижняя границы могут быть заданы как интервал или диапазон, например ∑ _1≤i≤100 a _i и ∑ _{i∈ [1,100]} a _i. Или это может быть задано как набор чисел, например ∑ _i∈P a _i, где P - определенное множество.

В некоторых случаях могут использоваться два или более сигма-знака, но их можно обобщить следующим образом; ∑ _j ∑ _k a _jk = ∑ _{j, k} a _jk.

Кроме того, суммирование следует многим алгебраическим правилам. Поскольку встроенная операция является сложением, многие общие правила алгебры могут применяться к самим суммам и к отдельным членам, отображаемым суммированием.

Подробнее об интеграции

Интеграция определяется как обратный процесс дифференциации. Но с геометрической точки зрения ее также можно рассматривать как площадь, ограниченную кривой функции и осью. Таким образом, расчет площади дает значение определенного интеграла, как показано на диаграмме.

Источник изображения:

Величина определенного интеграла фактически представляет собой сумму небольших полосок внутри кривой и оси. Площадь каждой полосы - это высота × ширина в рассматриваемой точке на оси. Ширина - это значение, которое мы можем выбрать, скажем, ∆x. А высота приблизительно равна значению функции в рассматриваемой точке, скажем, f (x _i). Из диаграммы видно, что чем меньше полоски, тем лучше они помещаются в ограниченную область, следовательно, лучше аппроксимируются значения.

Итак, в общем случае определенный интеграл I между точками a и b (т.е. в интервале [a, b], где a1) ∆x + f (x ₂) ∆x + ⋯ + f (x _n) ∆x, где n - количество полос (n = (ba) / ∆x). Это суммирование площади может быть легко представлено с использованием обозначения суммирования как I ≅ ∑ ⁿ _{i = 1} f (x _i) ∆x. Поскольку приближение лучше, когда ∆x меньше, мы можем вычислить значение, когда ∆x → 0. Поэтому разумно сказать I = lim _{∆x → 0} ∑ ⁿ _{i = 1} f (x _i) ∆x.

В качестве обобщения вышеупомянутой концепции мы можем выбрать ∆x на основе рассматриваемого интервала, индексированного i (выбор ширины области в зависимости от положения). Тогда получаем

I = lim _{∆x → 0} ∑ ⁿ _{i = 1} f (x _i) ∆x _i = _a ∫ ^b f (x) dx

Это известно как интеграл Реймана от функции f (x) в интервале [a, b]. В этом случае a и b называются верхней и нижней границей интеграла. Интеграл Реймана - основная форма всех методов интеграции.

По сути, интегрирование - это суммирование площади, когда ширина прямоугольника бесконечно мала.

В чем разница между интегрированием и суммированием?

• Суммирование - это сложение последовательности чисел. Обычно суммирование дается в такой форме ∑ ⁿ _{i = 1} a _i, когда члены в последовательности имеют шаблон и могут быть выражены с использованием общего члена.

• Интеграция - это в основном область, ограниченная кривой функции, осью и верхним и нижним пределами. Эту площадь можно представить как сумму гораздо меньших площадей, включенных в ограниченную область.

• Суммирование включает дискретные значения с верхней и нижней границами, тогда как интегрирование включает непрерывные значения.

• Интегрирование можно интерпретировать как особую форму суммирования.

• В численных методах расчета интегрирование всегда выполняется как суммирование.