Ассоциативный против коммутативного
В нашей повседневной жизни мы должны использовать числа всякий раз, когда нам нужно что-то измерить. В продуктовом магазине, на заправке и даже на кухне нам нужно складывать, вычитать и умножать две или более величины. Как показывает практика, мы выполняем эти расчеты без особых усилий. Мы никогда не замечаем и не задаемся вопросом, почему мы делаем эти операции именно таким образом. Или почему эти расчеты нельзя сделать по-другому. Ответ кроется в том, как эти операции определены в математической области алгебры.
В алгебре операция с двумя величинами (например, сложение) определяется как двоичная операция. Точнее, это операция между двумя элементами из набора, и эти элементы называются «операндами». Многие операции в математике, включая арифметические операции, упомянутые ранее, и операции, встречающиеся в теории множеств, линейной алгебре и математической логике, можно определить как двоичные операции.
Существует набор управляющих правил, относящихся к конкретной бинарной операции. Ассоциативные и коммутативные свойства - два основных свойства бинарных операций.
Подробнее о коммутативной собственности
Предположим, что над элементами A и B выполняется некоторая бинарная операция, обозначенная символом ⊗. Если порядок операндов не влияет на результат операции, то операция называется коммутативной. т.е. если A ⊗ B = B ⊗ A, то операция коммутативна.
Арифметические операции сложения и умножения коммутативны. Порядок сложения или умножения чисел не влияет на окончательный ответ:
А + В = В + А ⇒ 4 + 5 = 5 + 4 = 9
A × B = B × A ⇒ 4 × 5 = 5 × 4 = 20
Но в случае деления изменение порядка дает обратное для другого, а при вычитании изменение дает отрицательное для другого. Следовательно, A - B ≠ B - A ⇒ 4-5 = -1 и 5-4 = 1
A ÷ B ≠ B ÷ A ⇒ 4 ÷ 5 = 0,8 и 5 ÷ 4 = 1,25 [в данном случае A, B ≠ 1 и 0]
Фактически, вычитание называется антикоммутативным; где A - B = - (B - A).
Кроме того, логические связки, конъюнкция, дизъюнкция, импликация и эквивалентность также являются коммутативными. Функции истины также коммутативны. Объединение операций множества и пересечение коммутативны. Сложение и скалярное произведение векторов также коммутативны.
Но векторное вычитание и векторное произведение не коммутативны (векторное произведение двух векторов антикоммутативно). Сложение матриц коммутативно, но умножение и вычитание не коммутативны. (Умножение двух матриц может быть коммутативным в особых случаях, таких как умножение матрицы на ее обратную или единичную матрицу; но определенно матрицы не коммутативны, если матрицы не одного размера)
Подробнее об ассоциативном свойстве
Бинарная операция называется ассоциативной, если порядок выполнения не влияет на результат при наличии двух или более вхождений оператора. Рассмотрим элементы A, B и C и бинарную операцию ⊗. Операция ⊗ называется ассоциативной, если
A ⊗ B ⊗ C = A ⊗ (B ⊗ C) = (A ⊗ B) ⊗ C
Из основных арифметических функций ассоциативными являются только сложение и умножение.
A + (B + C) = (A + B) + C ⇒ 4 + (5 + 3) = (5 + 4) + 3 = 12
A × (B × C) = (A × B) × C ⇒ 4 × (5 × 3) = (5 × 4) × 3 = 60
Вычитание и деление не ассоциативны;
A - (B - C) ≠ (A - B) - C ⇒ 4 - (5-3) = 2 и (5-4) - 3 = -2
A ÷ (B ÷ C) ≠ (A ÷ B) ÷ C ⇒ 4 ÷ (5 ÷ 3) = 2,4 и (5 ÷ 4) ÷ 3 = 0,2666
Логические связки дизъюнкция, конъюнкция и эквивалентность ассоциативны, как и операции с множеством объединение и пересечение. Сложение матрицы и вектора ассоциативно. Скалярное произведение векторов ассоциативно, а векторное произведение - нет. Умножение матриц ассоциативно только при особых обстоятельствах.
В чем разница между коммутативным и ассоциативным свойством?
• И ассоциативное свойство, и свойство коммутативности являются особыми свойствами бинарных операций, и некоторые из них удовлетворяют им, а некоторые нет.
• Эти свойства можно увидеть во многих формах алгебраических операций и других бинарных операциях в математике, таких как пересечение и объединение в теории множеств или логические связки.
• Разница между коммутативным и ассоциативным состоит в том, что коммутативное свойство утверждает, что порядок элементов не меняет конечный результат, в то время как ассоциативное свойство утверждает, что порядок, в котором выполняется операция, не влияет на окончательный ответ.
