Интеграл Римана против интеграла Лебега
Интеграция - это основная тема математического анализа. В более широком смысле интеграцию можно рассматривать как обратный процесс дифференциации. При моделировании реальных проблем легко писать выражения, включающие производные. В такой ситуации требуется операция интегрирования, чтобы найти функцию, которая дала конкретную производную.
С другой стороны, интегрирование - это процесс, который суммирует произведение функции ƒ (x) и δx, где δx стремится быть определенным пределом. Вот почему мы используем символ интегрирования как. Фактически, символ ∫ - это то, что мы получаем, растягивая букву s для обозначения суммы.
Интеграл Римана
Рассмотрим функцию y = ƒ (x). Интеграл от y между a и b, где a и b принадлежат множеству x, записывается как b ∫ a ƒ (x) dx = [F (x)] a → b = F (b) - F (a). Это называется определенным интегралом однозначной непрерывной функции y = ƒ (x) между a и b. Это дает площадь под кривой между a и b. Это также называется интегралом Римана. Интеграл Римана был создан Бернхардом Риманом. Интеграл Римана непрерывной функции основан на жордановой мере, поэтому он также определяется как предел сумм Римана функции. Для вещественнозначной функции, определенной на отрезке, интеграл Римана от функции относительно разбиения x 1, x 2,…, x nопределенная на интервале [a, b] и t 1, t 2,…, t n, где x i ≤ t i ≤ x i + 1 для каждого i ε {1, 2,…, n}, сумма Римана определяется как Σ i = o до n-1 ƒ (t i) (x i + 1 - x i).
Интеграл Лебега
Лебег - это еще один тип интеграла, который охватывает большое количество случаев, чем интеграл Римана. Интеграл Лебега был введен Анри Лебегом в 1902 году. Интегрирование Лебега можно рассматривать как обобщение интегрирования Римана.
Зачем нужно изучать другой интеграл?
Рассмотрим характеристическую функцию ƒ A (x) = { 0 if, x not ε A 1 if, x ε A на множестве A. Тогда конечная линейная комбинация характеристических функций, которая определяется как F (x) = Σ a i ƒ E i (x) называется простой функцией, если E i измеримо для каждого i. Интеграл Лебега F (x) над E обозначается E ∫ ƒ (x) dx. Функция F (x) не интегрируема по Риману. Поэтому интеграл Лебега - это перефразировать интеграл Римана, который имеет некоторые ограничения на интегрируемые функции.
В чем разница между интегралом Римана и интегралом Лебега?
· Интеграл Лебега является обобщающей формой интеграла Римана.
· Интеграл Лебега допускает счетное бесконечное число разрывов, тогда как интеграл Римана допускает конечное число разрывов.
